Gọi M là trung điểm của AC, ta có:

\(GE\le GM+ME=\dfrac{1}{2}CD+\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{AB+CD}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) Ba điểm M, G, E thẳng hàng.

\(\Leftrightarrow\) GE // AB và GE // CD \(\Leftrightarrow\) AB // CD

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác ABCD là hình thang.

Bài này không khó, do yourself!

xét trường hợp tứ giác lồi ABCD không phải là hình thang

nối BD , gọi I là trung điểm của BD 

xét tam giác ABD  ta được 

M là trung điểm AB (GT)

 I là trung điểm của BD ( như cách gọi)

=> MI là  đường trung bình của tam giác ABD

     => MI // AD ; MI = 1/2 AD (1)

xét tam giác DBC ta có

 I là trung điểm của BD ( như cách gọi)

N là trung điểm của CD ( GT) 

=> NI là đường trung bình của tam giác DBC

    => NI //BC ; NI = 1/2BC (2)

cộng theo vế của (1) và (2) ta được

NI + MI = 1/2 (AD + BC)  hay \(MI+NI=\frac{BC+AD}{2}\)(3)

vì ABCD không phải là hình thang nên I không thuộc MN hay 3 điểm I,M,N không thẳng hàng. Ta được tam giác MIN. 

áp dụng định lí bất đẳng thức tm giác vào tm giác MIN ta có

MN < MI + NI (4)

kết hợp (3) và (4) ta được

\(MN<\frac{BC+AD}{2}\)(5)

* Xét trường hợp ABCD là hình thang ( AD // BC) 

ta có

M là trung điểm AB,

N là trung điểm CD

=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD

    => \(MN=\frac{BC+AD}{2}\) (6)

kết hợp (5) và (6) ta được

\(MN\le\frac{BC+AD}{2}\)

an cut

ăn  cưt ăn lồn